Non commutativity : the scientific term that ought to be more widely known in 2017!

An unofficial contribution to the annual challenge proposed by Edge.org
2017 : WHAT SCIENTIFIC TERM OR CONCEPT OUGHT TO BE MORE WIDELY KNOWN?

The word "noncommutativity" will certainly have been one of the most representative of the fertility of mathematics in the 20th century. If the commutative / noncommutative dichotomy is present in the nineteenth century, the advent of group theory, what is now called non-commutative mathematics, has taken off after the new mechanics adapted to the world Atomic scale was born. Quantum Mechanics has drawn an ontology of non-commutative mathematics, just as it has created a new physical paradigm for our perception of the world. From a philosophical point of view it is strange that the negation of a concept, of a formula, also becomes positively anchored in an almost universal conceptual aspect: in principle, since the "commutative" is one, the non-commutative should be multiple. We often speak of the commutative and the non-commutative, as if there were only one occurrence of the latter. This, it seems to me, reflects the profound paradigm shift that abandonment represents, in a physical theory or field of mathematics, the postulate [A, B]: = AB - BA = 0. 

Should we see [A, B] = 0 or [A, B] ≠ 0 as a constraint? 

On the other hand, if two given matrices A and B commute or do not commute, it turns out that there are families of matrices which almost commute, thus providing the possibility of a transition from non-commutative to commutative. This transition is difficult and offers an extreme richness, trace according to us of the depth of the paradigmatic change between the commutative and the non-commutative. We will try to give some examples ...

 English translation from the following original text in French by Thierry Paul :

Le mot “noncommutatif” aura certainement été l’un des plus représentatifs de la fécondité des mathématiques au XXème siècle. Si la dichotomie commutatif / noncommutatif est présente au XIXème siècle, dès l’avènement de la théorie des groupes, ce que l’on appelle de nos jours les mathématiques non commutatives ont pris tout leur essor après que la nouvelle mécanique adaptée au monde à l’échelle atomique ait vu le jour. La Mécanique Quantique a dessiné une ontologie du non commutatif en mathématique, tout comme elle a créé un nouveau paradigme physique pour notre perception du monde. D’un point de vue philosophique il est étrange que la négation d’un concept, d’une formule, devienne aussi positivement ancré dans un aspect conceptuel presque universel : en principe, puisque le “commutatif” est un, le non commutatif devrait être multiple. Or on parle souvent du commutatif et du non commutatif, comme s’il n’y avait qu’une seule occurrence de ce dernier. Cela traduit, il me semble, le changement de paradigme profond que représente l’abandon, dans une théorie physique ou domaine des mathématiques le postulat [A, B] := AB − BA = 0.  

Faut-il voit [A, B] = 0 ou bien [A, B] ≠ 0 comme une contrainte ?  

D’autre part, si deux matrices données A et B commutent ou bien ne commutent pas entre elles, il s’avère qu’il existe des familles de matrices qui commutent presque, offrant ainsi la possibilité d’une transition du non commutatif vers le commutatif. Cette transition est difficile et offre une richesse extrême, trace selon nous de la profondeur du changement paradigmatique entre le commutatif et le non commutatif. Nous allons essayer d’en donner quelques exemples...

 VOYAGE DANS LE NON COMMUTATIF, THIERRY PAUL

Addendum du 12/01/17

Voici une manière figurée de sentir la richesse de la vision noncommutative du monde qui est parfaitement incarnée dans la puissance du langage ordinaire avec l'anagramme (tirée de Anagrammes pour lire dans les pensées) que voici:

Ondes gravitationnelles

Le vent d'orages lointains

Dans une vision strictement commutative, les deux lignes suivantes perdent littéralement leur sens pour ne plus être que le magma suivant : 

a²de³gi²l²n³o²rs²t²v

Cet exemple est tiré de l'un des derniers transparents du premier cours de 2017 d'Alain Connes au collège de France dont les deux vidéos sont disponibles ici.