Déplier l'espace-temps euclidien depuis l'échelle électrofaible pour mieux le quantifier / Unfold the euclidean spacetime from the electroweak scale the better to quantize it

Un petit pas vers l'union de la gravitation et de la physique quantique, un grand pas pour le modèle spectral non commutatif de l'espacetemps / one small step for unification of gravitation and quantum physics,  one giant leap for the spectral noncommutative model of spacetime

In this paper we have uncovered a higher analogue of the Heisenberg commutation relation whose irreducible representations provide a tentative picture for quanta of geometry. We have shown that 4-dimensional Spin geometries with quantized volume give such irreducible representations of [a] two-sided [Heisenberg-like commutation] relation involving the Dirac operator and the Feynman slash of scalar fields and the two possibilities for the Clifford algebras which provide the gamma matrices with which the scalar fields are contracted. These instantonic fields provide maps Y,Y' from the four-dimensional manifold M⁴ to S⁴. The intuitive picture using the two maps from M⁴ to S⁴ is that the four-manifold is built out of a very large number of the two kinds of spheres of Planckian volume. The volume of space-time is quantized in terms of the sum of the two winding numbers of the two maps. More suggestively the Euclidean space-time history unfolds to macroscopic dimension from the product of two 4-spheres of Planckian volume as a butterfly unfolds from its chrysalis. Moreover, amazingly, in dimension 4 the algebras of Clifford valued functions which appear naturally from the Feynman slash of scalar fields coincide exactly with the algebras that were singled out in our algebraic understanding of the standard model using noncommutative geometry thus yielding the natural guess that the spectral action will give the unification of gravity with the Standard Model (more precisely of its asymptotically free extension as a Pati-Salam model as explained in [5]).

(traduction du blogueur)

Dans cet article, nous avons mis au jour un analogue généralisé de la relation de commutation de Heisenberg dont les représentations irréductibles pourraient s'interpréter comme les quanta de la géométrie. Nous avons montré que les géométries spinorielles à 4 dimensions avec un volume quantifié donnent de telles représentations irréductibles pour une relation de commutation de Heisenberg impliquant l'opérateur de Dirac et l’opérateur dit « slash » (ou coupure) de Feynman qui associe aux champs scalaires les matrices gamma représentant deux algèbres de Clifford avec lesquelles les champs sont contractés. Ces champs instantoniques permettent de construire deux applications Y, Y ' d’une variété à 4 dimensions M⁴ vers la 4-sphère S⁴. L'image intuitive utilisant les deux applications de M⁴ à S⁴ est que la variété à 4 dimensions est construite à partir d'un grand nombre de répliques de deux types de 4-sphères de volume unité dans l’échelle de Planck. Le volume de l'espace-temps est quantifié comme une somme de deux termes correspondants aux indices des deux applications. De façon plus suggestive l'histoire de l’espace-temps euclidien se déploie à l'échelle macroscopique à partir du produit de deux 4-sphères de volume élémentaire égal au volume de Planck comme un papillon se déploie hors de sa chrysalide. En outre, et de façon étonnante, les fonctions à valeur dans les algèbres de  Clifford qui apparaissent naturellement dans l’opérateur de coupure de Feynman agissant sur les scalaires, coïncident exactement avec les algèbres mises en évidence dans notre compréhension algébrique du modèle standard à l'aide de la géométrie non commutative ; cela nous conduit à supposer naturellement que l’action spectrale devrait permettre l'unification de la gravité avec le modèle standard (plus précisément avec son extension asymptotiquement libre à savoir le modèle de Pati-Salam explicité dans [5]).

Geometry and the Quantum: Basics

Ali H. Chamseddine, Alain Connes, Viatcheslav Mukhanov

(Submitted on 4 Nov 2014)

Souhaitons que ces trois navigateurs spectraux qui viennent tout juste de commencer à déplier l'espace-temps euclidien non-commutatif depuis l'échelle électrofaible du boson de Higgs puissent aussi un jour aider les explorateurs du réél qui vont bientôt replonger dans le zeptoespace avec une carte lorentzienne commutative.

Ajout du 13/11/2014 :
Pour en savoir plus voir lire le billet pulié par Alain Connes sur le blog Noncommutative geometry.