L'estran non commutatif : entre jusant et flot, mathématique et physique, classique et quantique, épistème et heuristique

2002-2003 : après dix ans de dialogue entre géométrie non commutative et physique des particules, un certain essoufflement se fait-il sentir (début d'une marée descendante)?
Voilà ce qu'on pouvait lire dans un article de revue sur la description des interactions fondamentales dans le cadre de la géométrie non commutative écrit entre 2002 et 2003 :

[...] there is no question of “application” of Non Commutative Geometry (NCG) to physics, but rather of mutual intercourse. In fact, the original use of noncommutative geometry in physics was a model of epistemological humility. Instead of trying to derive the laws of physics from some NCG construct, people were trying to learn, from the mainstream physical theories, what the noncommutative geometry of the world could be. By “mainstream physical theories” we essentially understand the Standard Model (SM) of fundamental interactions. The Standard Model, which has been been termed “ugly” by so many physicists, including some of its fathers, is dramatically elegant and beautiful in modern mathematics, in that its crucial concepts are among the deepest and most powerful in noncommutative geometry. I am talking about the concepts of gauge field and of chiral fermion. Gauge fields are identical with connections, perhaps the most important objects in the modern formulation of geometry. The algebraic definition of linear connection is imported verbatim into NCG. 

Will NCG live up to its promise with regard to fundamental physics? One should not confuse the learning of a new language with the expansion of physical knowledge. A word of caution about the changing relationships between physics and mathematics is always in order. For instance, Yang and Mills found a family of theories which seemed pertinent to describe the observed phenomena. Mathematicians have translated them into fibre bundle language, and now we teach Yang–Mills theories to our students with the rigidity of formalism, so they seem completely unavoidable. However, in their present form they are suspect (at least to Mills [95] and to this reviewer), for the good reason that quantizing them is a nightmare. It may come to pass that eventually they be seen as an incomplete preliminary stage of a more refined physical model. 

By the standards of fashion, the NCG conquest of physics is now ebbing somewhat. This ebb will surely prove temporary, since the concepts and tools of noncommutative geometry are indeed powerful and helpful in QFT. On the other hand, our ability to reformulate the SM as a noncommutative geometry is not, in itself, all that meaningful. A truer test for the NCG paradigm is the understanding of the fermion mass and mixing matrices. 

As for NC field theory, the models available so far, while they amount to a useful mathematical laboratory for the unification of gravity and the other fundamental interactions, are still too rough. In spite of the ideology of effective field theory, it remains true that the fantastic successes of the renormalizability program, now validated for geometric bakgrounds, and of renormalizability itself as a heuristic principle in selecting physical models, tell us that the violation of locality which we expect at some level is subtler than we have been able to dream of until now. Some crucial ingredient is missing.   

[...] Il n'est pas question "d'application" de la géométrie non commutative ( GNC ) à la physique mais plutôt d'enrichissements mutuels. En fait, l'utilisation originelle de la géométrie non commutative en physique [des particules] est un modèle d'humilité épistémologique. Au lieu d'essayer de déduire les lois de la physique de certaines constructions issues de la GNC, les chercheurs ont essayé au contraire d'apprendre des théories  physiques classiques ce à quoi pourrait ressembler une géométrie non commutative du monde. Par « théories physiques classiques» on entend essentiellement le modèle standard (MS) des interactions fondamentales. Ce Modèle Standard qui a été décrit comme hideux par de nombreux physiciens, y compris certains de ses pères, est nettement plus élégant et beau à travers le prisme des mathématiques modernes en ce que ses principes fondamentaux sont parmi les plus profonds et les plus puissants de la géométrie non commutative. Je veux parler des concepts de champ de jauge et de fermion chiral. Les champs de jauge sont identiques à des connexions qui sont peut-être les objets les plus importants dans la formulation moderne de la géométrie. La définition algébrique de connexion linéaire est importée textuellement en GNC.

    La GNC sera-t-elle à la hauteur de ses promesses vis à vis de la physique fondamentale ? Il ne faut pas confondre l'apprentissage d'une nouvelle langue avec l'expansion de la connaissance physique. Une certaine prudence quant-à l'évolution des relations entre la physique et les mathématiques est toujours à l'ordre du jours. Par exemple , Yang et Mills ont trouvé une famille de théories qui semblaient pertinents pour décrire les phénomènes observés. Les mathématiciens les ont traduits dans le langage des fibrés et maintenant nous enseignons les théories de Yang-Mills à nos étudiants avec toute la rigidité du formalisme de sorte qu'il semble qu'on ne puisse se passer d'elles. Cependant, dans leur forme actuelle, elles sont suspectes (au moins aux yeux de Mills [95] et de l'auteur) pour la bonne raison que leur quantification est un cauchemar. Il pourrait finalement arriver qu'elles doivent être considéréds comme une étape préliminaire incomplète d'un modèle physique plus raffiné .

    Selon les normes de la mode, la conquête de la physique par la GNC marque quelque peu le pas. Ce reflux s'avérera sûrement temporaire puisque les concepts et les outils de la GNC sont en effet puissant et utile pour la théorie quantique des champs. D'autre part notre capacité à reformuler le MS comme une géométrie non commutative n'est pas ,en soi, vraiment significatif. Un test plus authentique du paradigme de la GNC est la compréhension de la masse des fermions et des matrices de mélange.

    Quant aux théories des champs non commutatifs, les modèles disponibles à ce jour sont encore trop grossiers même s'ils constituent un laboratoire mathématique utile pour l'unification de la gravité et des autres interactions fondamentales. En dépit de l'idéologie des théories des champs effectives, il reste vrai que le succès fantastique du programme de renormalisation maintenant validé sur des bases géométriques comme celui du critère de renormalisabilité comme principe heuristique pour le choix des modèles physiques nous indiquent tous les deux que la violation de la localité attendue à un certain niveau est plus subtile que nous avons pu l'imaginer jusqu'à présent. Il nous manque encore des ingrédients essentiels.

Jose M. Gracia-Bondia, Noncommutative geometry and fundamental interactions: the first ten years 09/01/2003

2012-2013 : la découverte de ce qui ressemble bien au premier boson scalaire fondamental  marquera-t-elle un renouveau de l'intérêt des physiciens des hautes énergies pour un modèle spectral non commutatif (début d'une marée montante)?

The spectral action of Chamseddine and Connes [...] must be viewed as one of the most fundamental discoveries in the last twenty years. It is a really essential new device in constructing gauge field actions since it produces the Maxwell and Yang-Mills term, as well as the Hilbert-Einstein term, and all these with the correct sign in front. Even more important, for the product geometry being built from the canonical spectral triple and a finite spectral triple over a virtual manifold made of two points, it also yields the Higgs action, with the correct ‘wrong’ sign in front of the mass term. A further decisive insight is delivered by the fact that the Higgs field is a gauge field, of spin zero; hence, all matter fields carry spin one-half, and all elementary fields of integer spin less than or equal to two are recognized as gauge fields.

... the role of noncommutative geometry in physics can roughly be summarized by saying that it reveals the origin of the spontaneous symmetry breaking mechanism in elementary particle physics. As opposed to the spontaneous symmetry breaking mechanism in quantum statistical mechanics, e.g. in superconductivity, where the scalar field as a bound state is an effective field, the Higgs field of particle physics is an elementary constituent, since recognized as a gauge degree of freedom ...

Quite recently it has been reported that the Higgs particle was observed with some confidence at the Large Hadron Collider LHC, with a mass near 125 GeV ...
The same rather low value for the Higgs mass was, also quite recently, derived by Chamseddine and Connes (arXiv: hep/ph 1208.1030) from their complete action of the standard model by running the coupling constants from the unification scale of 10¹⁷ GeV down to the electroweak scale by means of the renormalization group equations. An essential role in reproducing just the experimental result is played by a neutral scalar field, which in addition to the Higgs doublet is predicted by the noncommutative approach to the standard model.

 Transcription :

[Le principe d]'action spectrale de Chamseddine et Connes doit être considéré comme l'une des découvertes les plus fondamentales des vingt dernières années. Il s'agit d'un nouvel outil vraiment essentiel dans la construction d'une action avec des champs de jauge car il permet d'obtenir les termes de Maxwell et de Yang-Mills ainsi que le terme de Hilbert-Einstein et tout cela avec les bons signes. Plus important encore, le principe d'action spectrale appliqué à une géométrie "produit" de l'espace-temps ordinaire et d'un espace "interne", donne aussi l'action de Higgs avec le bon signe négatif devant le terme de masse. Cette géométrie est construite à partir du produit d'un triplet spectral canonique [qui permet de reconstruire l'espace-temps quadridimensionnel] et d'un triplet spectral fini qui peut se "voir" comme un espace virtuel réduit à deux points. Un autre aspect décisif est lié au fait que le champ de Higgs est un champ de jauge, de spin nul, tous les champs de matière ont un spin demi-entier et tous les champs élémentaires de spin entier inférieur ou égal à deux sont reconnus comme des champs de jauge. 

L'intérêt de la géométrie non commutative pour la physique peut être résumé en disant en gros qu'elle permet de comprendre l'origine du mécanisme de brisure de symétrie spontanée en physique des particules élémentaires. Contrairement au mécanisme de brisure spontanée de symétrie en mécanique statistique quantique, comme par exemple celui de la supraconductivité  où le champ scalaire est un champ effectif qui décrit l'état ​​lié de deux électrons, le champ de Higgs de la physique des particules est un champ élémentaire qui s'identifie à un nouveau degré de liberté de jauge.

Tout récemment, il a été rapporté que la particule de Higgs a été observée avec un bon niveau de confiance au grand collisionneur de hadrons, le LHC, et que sa masse est voisine de 125 GeV. La même valeur plutôt faible pour la masse du Higgs a également été récemment calculée par Chamseddine et Connes (arXiv: hep/ph 1208.1030) grâce au lagrangien complet du modèle standard en calculant la variation des constantes de couplage de l'échelle d'unification de 10¹⁷ GeV jusqu'à l'échelle électrofaible à l'aide des équations du groupe de renormalisation. Cette approche non commutative du Modèle Standard prévoit, outre l'existence du doublet de Higgs, un nouveau champ scalaire neutre qui joue un rôle essentiel pour reproduire les résultats expérimentaux du LHC. 

Gerhard Grensing, Structural Aspects of Quantum Field Theory and Noncommutative Geometry 07/2013